Statistiques inférentielles

Les statistiques descriptives résument des données existantes. Les statistiques inférentielles vont plus loin : elles permettent de faire des prédictions et des tests à partir d’un échantillon pour tirer des conclusions sur l’ensemble de la population.

Échantillonnage

Population : l’ensemble complet des données d’intérêt (ex : tous les clients d’une entreprise).

Échantillon : le sous-ensemble utilisé pour l’analyse. L’objectif est qu’il soit représentatif pour minimiser le biais.

Type d’échantillonnage	Description
Aléatoire simple	Chaque individu a la même probabilité d’être sélectionné
Stratifié	La population est découpée en sous-groupes, puis échantillonnée dans chacun
Par grappes	Des groupes entiers sont tirés au sort
Systématique	On sélectionne un individu tous les k éléments

Estimation ponctuelle

L’estimation ponctuelle consiste à utiliser une statistique calculée sur l’échantillon pour estimer un paramètre inconnu de la population.

Statistique échantillon	Estime
Moyenne échantillon x̄	Moyenne population μ
Proportion échantillon p̂	Proportion population p

Intervalle de confiance

L’estimation ponctuelle donne un seul chiffre mais ne quantifie pas l’incertitude. L’intervalle de confiance fournit une plage plausible pour le paramètre avec un certain niveau de confiance (95 %, 99 %, etc.).

Interprétation : «Nous sommes 95 % confiants que μ est dans cet intervalle.»

Erreur type et taille d’échantillon

L’erreur type (SE) mesure la variabilité de la moyenne échantillon d’un tirage à l’autre :

SE = σ / √n

Plus l’échantillon est grand, plus SE est petit et l’estimation précise. La taille d’échantillon à choisir dépend de trois facteurs :

• Niveau de confiance souhaité
• Précision désirée (marge d’erreur)
• Variabilité de la population (σ)

Tests d’hypothèses

Un test d’hypothèse vérifie si une affirmation sur la population est compatible avec les données de l’échantillon.

Étapes :

1. Formuler H0 (hypothèse nulle) et H1 (hypothèse alternative)
2. Choisir le test statistique approprié
3. Calculer la statistique de test
4. Déterminer la valeur-p
5. Accepter ou rejeter H0

Valeur-p

La valeur-p est la probabilité d’obtenir un résultat aussi extrême que celui observé, si H0 est vraie.

p < 0,05  →  rejeter H0 (résultat statistiquement significatif)
p ≥ 0,05  →  pas de preuve suffisante pour rejeter H0

Le seuil 0,05 est conventionnel. Certains domaines utilisent 0,01 ou 0,001 pour exiger une preuve plus solide.

Erreurs de décision

Erreur	Définition	Notation
Erreur de type I (α)	Rejeter H0 alors qu’elle est vraie (fausse alerte)	α = seuil du test
Erreur de type II (β)	Ne pas rejeter H0 alors qu’elle est fausse	β
Puissance du test	Probabilité de détecter un effet réel	1 − β

Réduire α augmente β : il y a toujours un compromis entre les deux types d’erreurs.

Tests courants

Test	Usage
Test Z	Comparer une moyenne population connue, grande taille d’échantillon
Test t de Student	Comparer des moyennes sur un ou deux groupes, petits échantillons
Test du Khi-deux	Tester l’indépendance entre deux variables qualitatives
ANOVA	Comparer les moyennes de plusieurs groupes simultanément

Estimation par maximum de vraisemblance (MLE)

Le principe du maximum de vraisemblance (MLE, Maximum Likelihood Estimation) consiste à choisir les paramètres d’un modèle qui maximisent la probabilité d’avoir obtenu les données observées.

Formellement, on cherche θ* tel que :

θ* = argmax L(θ | données)

La régression logistique et de nombreux modèles de deep learning s’entraînent en minimisant la log-vraisemblance négative, ce qui revient à maximiser la vraisemblance.

Applications en IA

Application	Rôle des statistiques inférentielles
Inférence bayésienne	Met à jour les probabilités a priori avec de nouvelles données (théorème de Bayes)
Apprentissage supervisé	Évalue la performance sur un échantillon test pour inférer la généralisation
Sélection de modèles	Tests statistiques pour comparer significativement deux modèles
A/B Testing	Tests d’hypothèses pour valider qu’un changement produit un effet réel